Плотность поляризационных зарядов на пластине диэлектрика

Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент Р. Получится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность зарядов? Нет, если Р постоянен.

Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не приводит к появлению суммарного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы Р в одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем оттуда вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность заряда. В случае плоского конденсатора предположим, что Р — величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмотреть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние δ, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии δ. Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверхностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом.

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна А, то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение А и N (числа электронов на единицу объема), а также смещения δ, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона qe. Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Величина поверхностной плотности зарядов равна

Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)]:

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим σсвоб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что σпол существует только благодаря σсвоб. Если, разрядив конденсатор, удалить σсво6, то σпол также исчезнет, но он не стечет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на ε. Очевидно, что σпол и σсвоб имеют разные знаки, так что

Заметьте, что поле Е между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только σсвоб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предполагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде

Читайте также:  Водяные полы в квартире запрещены

Постоянная X (греческое «хи») называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

откуда мы получаем множитель 1/(1+%), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Напряжение между пластинами есть интеграл от электрического поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d. Мы получаем

Полный заряд конденсатора есть σсвоб А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель .

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в маленький элемент объема может войти больше зарядов, чем выйдет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?

Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через воображаемую плоскость, когда материал поляризуется. Количество заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности. Разумеется, если поляризация касательно, к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда

Продолжая прежние рассуждения, легко понять, что количество заряда, прошедшее через любой элемент поверхности, пропорционально компоненте Р, перпендикулярной к поверхности. Сравним фиг. 10.6 и 10.5. Мы видим, что уравнение (10.5) в общем случае должно быть записано так:

Если мы имеем в виду воображаемый элемент поверхности внутри диэлектрика, то формула (10.12) дает заряд, который прошел через поверхность, но не приводит к результирующему поверхностному заряду, потому что возникают равные и противоположно направленные вклады от диэлектрика по обе стороны поверхности.

Однако смещение зарядов может привести к появлению объемной плотности зарядов. Полный заряд, выдвинутый из объема V за счет поляризации, есть интеграл от внешней нормальной составляющей Р по поверхности S, охватывающей объем (фиг. 10.7). Такой же излишек зарядов противоположного знака остается внутри. Обозначая суммарный заряд внутри V через ΔQпол, запишем

Мы можем отнести ΔQпол за счет объемного распределения заряда с плотностью ρпол, так что

Комбинируя оба уравнения, получаем

Мы получили разновидность теоремы Гаусса, связывающую плотность заряда поляризованного материала с вектором поляризации Р. Мы видим, что она согласуется с результатом, полученным для поверхностного поляризационного заряда или же для диэлектрика в плоском конденсаторе. Уравнение (10.15) с гауссовой поверхностью S, изображенной на фиг. 10.1, дает в правой части интеграл по поверхности, равный Р ΔА, а в левой части заряд внутри объема оказывается σпол ΔА, так что мы снова получаем σ = Р.

Точно так же, как мы делали в случае закона Гаусса для электростатики, мы можем перейти в уравнении (10.15) к дифференциальной форме, пользуясь математической теоремой Гаусса:

Читайте также:  Формула расчета тепловой энергии теплоносителя

Если поляризация неоднородна, ее дивергенция определяет появляющуюся в материале результирующую плотность зарядов. Подчеркнем, что это совсем настоящая плотность зарядов; мы называем ее «поляризационным зарядом», только чтобы помнить, откуда она взялась.

Величина и дипольный момент объема

В том случае, если диэлектрик не поляризован, то объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате процесса поляризации поверхностная плотность всегда отлична от нуля, а объемная лишь иногда. Между поляризованностью (вектором поляризации $overrightarrow

$) и поверхностной плотностью связанных зарядов ($sigma $) существует несложная связь. Для того, чтобы ее найти, рассмотрим плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, которая находится в электростатическом поле (рис.1). Выделим в этой пластине элемент объема в виде тонкого цилиндра. Его ось будет параллельна вектору напряженности поля. Основания цилиндра имеют площадь $ riangle S$, они совпадают с поверхностями цилиндра.

Величина выделенного объема равна:

где $l$ — высота цилиндра, $alpha $ — угол между направлением вектора напряженности и вектором внешней нормали к поверхности с положительным зарядом. Дипольный момент выделенного объема равен:

Рассматриваемый объем эквивалентен диполю, заряды которого равны $q=pm <sigma >_ riangle S$ и плечо равно l. Электрический момент этого диполя равен $p_e=<sigma >_ riangle Sl$. $P=p_e$, значит:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Из формулы (3) мы видим искомое выражение, которое связывает поверхностную плотность связанных зарядов и модуль вектора поляризации:

где $P_$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. В нашем случае (рис.1) $P_>0$ для правой поверхности, где $<sigma >_>0$, для левой: $P_

Поверхностная плотность связанных зарядов

Формула (4) справедлива в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик любой формы находится в неоднородном электрическом поле. Под $P_$ в таком случае понимают нормальную составляющую вектора, который берется близко к элементу поверхности, для которого определяют поверхностную плотность связанных зарядов.

Итак, поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков равна:

где $overrightarrow<12>>$ — единичный вектор нормали, который направлен из первого диэлектрика во второй.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Плотность объемных связанных зарядов так же связана с вектором поляризации, а именно:

Формула (6) имеет следующий смысл: Точки с положительной дивергенцией вектора поляризации служат источниками поля вектора $overrightarrow

$, из таких точек линии поля расходятся. Точки с отрицательной дивергенцией $overrightarrow

$ служат стоками поля вектора поляризации, к этим точкам линии сходятся. Это означает, что при поляризации диэлектрика связанные заряды, которые имею знак плюс, смещаются в направлении вектора $overrightarrow

Читайте также:  Открытка первый снег своими руками

$, вернее, в направлении линий его поля. Отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении. Как следствие, в местах положительной дивергенции вектора поляризации имеется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной дивергенцией $overrightarrow

$ — избыток положительных зарядов.

Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда ?. Между пластинами конденсатора находятся две диэлектрические пластины, проницаемость которых равна $<varepsilon >_1$ и $<varepsilon >_2$. Они плотно прилегают друг к другу. Определить плотности связанных зарядов пластин из диэлектрика на границе их раздела ($sigma ‘$).

Основой для решения задачи служит уравнение — граничное условие для перехода вектора поляризации через границу двух диэлектриков:

Напряженности поля равны, вне диэлектрика:

внутри первого диэлектрика:

внутри второго диэлектрика:

Зная, что вектор поляризации в случае изотропного диэлектрика связан с напряженностью соотношением:

Используя (1.3), (1.4) и (1.5) запишем:

Найдем поверхностные плотности связанных зарядов для первого диалектика (верхняя) свободная поверхность:

для второго диалектика (нижняя) свободная поверхность:

На границе раздела двух диэлектриков получим, что поверхностная плотность зарядов равна:

Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью$ varepsilon $ заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна $
ho $. Толщина пластины 2а. Найдите объемную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость вещества вне пластины равна единице.

Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты. Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского – Гаусса и она равна:

где $sigma$=$
ho cdot a$ — поверхностная плотность заряда

Найдем модуль вектора поляризации:

Объемная плотность связанных зарядов равна:

Для нашего случая (2.4) преобразуется в:

где $varepsilon =1+varkappa , o varkappa =varepsilon -1$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Решение:

а) до отключения конденсатора от источника напряжения

Напряженность поля двух пластин

(1)

Связь диэлектрической проницаемости и диэлектрической

(2)

Выразим напряженность через напряжение и расстояние

(3)

Отсюда поверхностная плотность свободных зарядов с диэлектриком

Поверхностная плотность свободных зарядов без диэлектрика

Изменение поверхностной плотности свободных зарядов

Связь между поляризованностью и напряженностью электрического поля

Поляризованность равна поверхностной плотности связанных зарядов

б) после отключения конденсатора от источника напряжения

заряд на обкладках конденсатора не изменяется, следовательно, поверхностная плотность свободных зарядов также не изменяется.

Емкость плоского конденсатора

Заряд на обкладках после отключения от источника и заполнения конденсатора диэлектриком не изменяется

Ответ: а)

б) заряд на обкладках конденсатора не изменяется, следовательно, поверхностная плотность свободных зарядов также не изменяется.

Оставьте ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *