Формула угловой скорости тела

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T -1 , a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

 сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а, нор­мальное ускорение аn) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

Читайте также:  Мощные китайские смартфоны 2018

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

где  — начальная угловая скорость.

• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,

• Какое движение называется поступательным? вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = Att 2 +Dt 3 (С = 0,1 м/с 2 , D = 0,03 м/с 3 ). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с 2 ; 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с 2 ]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At+5Вt 4 (A=2 рад/с 2 и B=1 рад/с 5 ). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а = 8,5 м/с 2 ; N = 0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r=4 м, задается уравнением аn+-Bt+Ct 2 (A=1 м/с 2 , В=6 м/с 3 , С=3 м/с 4 ). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [ 1) 6 м/с 2 ; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с 2 ]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с 2 ; 2) 360]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением =A+Bt+Ct 2 +Dt 3 (B = l рад/с, С=1 рад/с 2 , D=l рад/с 3 ). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с 2 ; 2) 28,9 м/с 2 ; 3) 28,9 м/с 2 ]

Читайте также:  Технология укладки линокрома на кровле

Угловой скоростью называется величина, численно равная скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины.

При вращении тела вокруг неподвижной оси АВ каждая точка тела М описывает окружность, перпендикулярную к оси, центр Р которой лежит на оси.

Скорость точки M направлена нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Равномерное вращение точки характеризуется постоянной угловой скоростью.

Угловой скоростью тела называют отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого совершен этот поворот. Если угловую скорость обозначить через w, то:

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

При равномерном вращении, когда известна угловая скорость в начальный момент времени t = 0, можно определить угол поворота тела за время t и тем самым положение точек тела:

За один период (промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один оборот по окружности) угол поворота φ равен рад: = wT, откуда:

Связь угловой скорости с периодом Т и частотой вращения ν выражается соотношением:

А связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением:

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Читайте также:  Как сделать сарай на даче своими руками

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Оставьте ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *